長谷川氏の中性子実験の論文。。。小澤の不等式。。。
小澤の不等式関連のリンクは谷村氏のサイトにまとめられている。
http://www.phys.cs.is.nagoya-u.ac.jp/~tanimura/uncertainty/Heisenberg-Ozawa.html
そこでも有料版へのリンクしかなかったのだが、
小澤氏ご本人のサイト
http://www.math.cm.is.nagoya-u.ac.jp/~ozawa/
からの「分野別主要論文」へのリンク
http://www.math.cm.is.nagoya-u.ac.jp/~ozawa/bunnyabetsushuyouronnbunn.html
の「理論物理学」の18番目のリストにダウンロードが有料だったNature physicsに並べて、無料でダウンロード可能なサイトのリンクが埋め込まれていた。
小澤先生、ありがとうございます。^^V)

Cornell University Library
lanl.arXiv.org > quant-ph > arXiv:1201.1833
http://xxx.lanl.gov/abs/1201.1833

上記からPDF、PostScript版をダウンロード可能である。
よく考えたら、以前お世話になった査読前のプレプリントを保存しているサーバである。なぜに検索をかけなかったのかと我ながら情けない。。。
PDF版への直リンクは
http://xxx.lanl.gov/pdf/1201.1833v1.pdf
になる。

これで日経サイエンスの記事で疑問だった「σ(標準偏差、ゆらぎ)」についての疑問が解決するかも知れない。。。

少なくとも、εとηの最大値が√2であることは明確に述べられていた。また、それぞれの理論式も記載されていた。
ε(A) = 2 sin(φ/2), η(B) = √2 cos φ
The values at φ = 0 are ε(A) = 0 and η(B) = √2
whereas the values at φ = π/2 are ε(A) = √2 and η(B) = 0


懸案のσが組み込まれた図はfig.5であるが、fig.4と比較すると、すでにσ(A)=σ(B)=1(定数)として処理されていることが一目瞭然である。
一体全体、なぜにそうなるのか?
これから、読み進めていくところである。(分かったら本投稿に追記していきます)


===2012/04/23 04:00 追記
図5では、
The two additional product-terms σ(A)η(B) (green) and ε(A)σ(B) (blue) in the new relation are plotted together with the theoretical predicted curves: ε(A)σ(B) = 2 sin(φ/2) and σ(A)η(B) = √2 cos φ.
とあり、
Appendix Bでの式(9)と式(10)から
ε(A)σ(B) = ε(A) = 2 sin(φ/2)
σ(A)η(B) = η(B) = √2 cos φ
で、あきらかにσ(A)=σ(B)=1(定数)になっている。

どうやら理論式の説明、Appendix Bと式(2):σ(A)とσ(B)についてのケナード(ロバートソン)の不等式の直下に記述のある
σ(A)2 = 〈ψ|A2|ψ〉-〈ψ|A|ψ〉2
から計算するようだ。
Appendix Bでは、
A=σx、B=σy
とあり、パウリ行列をそのまま代入するようである。
であれば、「定数」になるわけである。
観測時の状態にかかわらず、「ゆらぎ」が一定値になるというのは興味深い。
小澤氏がハイゼンベルグの暗黙裏の仮定とした
σ(A)≦ε(A)
にて、σ(A)が一定値の場合、ε(A)がゼロに近づくと
σ(A)>ε(A)
になりうるからである。

ただし、σ(A)はh/(4π)=ħ/2、すなわちプランク定数レベル(※後述)であろうから、ループ量子重力理論などの、「時空に最小単位がある」という理論からすれば、ハイゼンベルグの暗黙裏の仮定は破られることがないという結論にもなりかねないのだが。。。真相はいかに???

本来ならば「スピン(正確にはスピン角運動量)」だろうから、パウリ行列×ħ/2になると思うのだけれど。。。ざっくりと見ただけなので、時間があればトレースしてみたいところ。

というのは、図中にて「1」という値は、h/(4π)(=ħ/2)を単位として扱っているのだが、式の中で、とりわけ二つの組の掛け算の中で使用すると、1×1=1といった単純なミスを犯しそうで気持ちが悪い。
h/(4π)=ħ/2≠1であり、
ħ/2×ħ/2 = (ħ/2)2 ≠ ħ/2である。
h/(4π)=ħ/2<1であり、
ħ/2×ħ/2 = (ħ/2)2 < ħ/2である。

【1】σ(A)=σ(B)=1(定数)なのか?
【2】σ(A)=σ(B)=h/(4π)=ħ/2(定数)なのか?
【3】σ(A)=σ(B)=(ħ/2)1/2(定数)なのか?
掛け合わした値は
【1】σ(A)×σ(B)=1 > ħ/2
【2】σ(A)×σ(B)=(ħ/2)2 < ħ/2
【3】σ(A)×σ(B)=ħ/2 ≧ ħ/2
であり、
ケナード(ロバートソン)の不等式がなりたつのは【1】と【3】の場合のみである。

※このあたり、KEKでの説明
http://www.kek.jp/ja/NewsRoom/Highlights/20120223180000/
KEKトップ>ニュースルーム>ハイライト
「量子力学の基礎概念を見直す −ハイゼンベルクの不確定性原理の'破れ'と小澤の不等式− 2012年2月23日」
===>
実験で用いたスピンの場合には下限の値が(h/4π)2となる
<===
は「???」である。あきらかに【2】を想定している。
下限の値はh/(4π)(=ħ/2)の間違いではないのか?と思うからである。
小澤の不等式の下限はh/(4π)(=ħ/2)であって、その二乗値ではないからである。
===

※2012/5/4 11:00 追記
私の本記事についてのTwitterに谷村先生が答えてくださいました。(感謝!!)
時間の関係でとりあえずリンクと内容を貼り付けておきます。
後でじっくりと考えてみますが、今一番気になるのは「1」という値が「1」なのか「h/(4π)(=ħ/2)」なのかですね。。。
https://twitter.com/#!/tani6s/status/194748048159686657
http://jinen.exblog.jp/18174501/ の中で《観測時の状態にかかわらず、「ゆらぎ」が一定値になるというのは興味深い。》と来生さんは書かれていますが、小澤・長谷川実験では、初期状態を σ_z = +1 の固有状態に固定して A=σ_x と B=σ_y のゆらぎを測っています。
https://twitter.com/#!/tani6s/status/194748178552209410
観測時(観測直前)の状態は毎回一定です。
https://twitter.com/#!/tani6s/status/194748251709255680
この測定に関しては標準偏差 σ(A), σ(B) はつねに 1 になります。同じ記号 σ が、パウリ行列や標準偏差の意味に使われていますが、混同することはないでしょう。
https://twitter.com/#!/tani6s/status/194748337713446912
この実験に関して標準偏差 σ(A), σ(B) が 1 になることは、理論的には簡単な計算でわかることですが、彼らはちゃんと実験測定もやって、標準偏差が1 になることを確認しています。
https://twitter.com/#!/tani6s/status/194748402238619648
実際には A の平均値と B の平均値を別々の実験セットアップで測っています。
https://twitter.com/#!/tani6s/status/194748491912847361
A^2 の平均値は、測らなくても定義より自動的に 1 ですので、さすがにこれは測る必要がありません。
https://twitter.com/#!/tani6s/status/194748545520238592
もしも他の初期状態や、他の A, B の向きの設定でゆらぎを測っていたら、ゆらぎの大きさは別の値になっていたでしょう。
https://twitter.com/#!/tani6s/status/194748652164624385
長谷川さんたちはそういう場合の実験もやっていました。3月のQMKEK研究会ではその測定結果も見せてくれていました。ただ、その結果は不確定性関係の検証には劇的に重要というわけではないので、論文には書かれていません。
https://twitter.com/#!/tani6s/status/194748703540645889
長谷川実験におけるスピンのゆらぎ(標準偏差)の測定について、私が言えることは以上です。

※2012/5/6 5:25 追記
連休中に少しばかり関連書を読んでみたので、自身の理解度と合わせてまとめてみる。
●1.小澤の不等式とロバートソン=ケナードの不等式は数学的に成り立つ不等式(ただし、前提条件が付与され、かつ、標準偏差・誤差・擾乱の定義にて状態が設定されるので注意)とのこと。1988年に標準量子限界を打ち破る測定モデルを提示された段階から、2004年に公理的に証明された段階までの変遷があるようだ。
ケナード=ロバートソンの不等式のトレースおよび理解は比較的簡単であるが、小澤の不等式はトレースおよび理解が困難(単に私の理解力不足によるものだろうけれど。。。)。
☆理由1.標準偏差の定義の問題
「測定直前の標準偏差」とされている。小澤の不等式を証明する段階でケナード=ロバートソンの不等式が用いられていることからも、「測定中の標準偏差」は扱うことが困難な概念なのかもしれない。事後確率=1という定義の世界(波束が収縮する世界)では、「測定中の標準偏差」はまさにダイナミックに「収縮」するのだろう。
☆理由2.記述時期によって微妙に異なる条件設定
小澤氏の記述では、重力波の検出を想定する場合等で、誤差と擾乱の両方をゼロに近づける操作を想定することがあるが、不等式が成立するために標準偏差は無限大になる必要がある。この無限大という概念が「測定直前」ではなく、測定装置+対象全体の標準偏差という、まさに「測定中の標準偏差」に相当する概念が述べられているものがあり、理解しにくい。ただし、これは歴史的に「過去の仮設」の範疇である可能性がある。でもその場合の標準偏差は「測定対象そのものの標準偏差」になるので、一層理解しにくい。なぜなら、誤差と擾乱の両方をゼロに近づける操作は、「繰り返し計測時」という条件が付されることが多く、短時間に繰り返し計測されると、標準偏差が無限大に発散する一方で誤差と擾乱が収縮していくというのが理解しにくい。
谷村氏の記述では、ケナード=ロバートソンの不等式と小澤の不等式は、物理的な意味が異なるとしている。ケナード=ロバートソンの不等式では、非可換な測定対象それぞれを、別の対象(を多く含むグループ)で独自に測定したときに成立するものとし、測定過程を扱う小澤の不等式とは異なるものであるとしている。(文献1)
しかしながら、小澤の不等式の証明にケナード=ロバートソンの不等式を用いているので、測定過程ではケナード=ロバートソンの不等式と小澤の不等式の両方が成立する必要があると考えるべきなのだろう。
ただしこれは、標準偏差を「測定前」とする場合にのみ成立する概念であり、「事後確率=1の世界」=「波束が収縮する世界」(いわゆるコペンハーゲン解釈)を想定し、かつ、標準偏差を「測定中」の値として捉えようとする場合には不等式は成立しえない。「事後確率≠1の世界」=「波束が収縮しない世界」(いわゆる多世界解釈)を想定するなら、両者の不等式は標準偏差を「測定中から測定後までを含めて」考えても成立するであろうが、まさに解釈問題の範疇になる。
●2.長谷川氏の実験結果の「標準偏差」について
長谷川氏の実験に関する原論では「標準偏差」の値というものが分かりにくい。量子力学の記述でよくおこなわれる「h/(4π)(=ħ/2)」を「1」という値に置き換える(厳密に言えば、縮尺を変換する)方法で扱われているからである。
「もし仮に標準偏差がh/(4π)(=ħ/2)」であるなら、図4のε(A)‐η(B)のプロットと図5のε(A)σ(B)‐σ(A)η(B)のプロットが同一になるのが不思議な感覚に捕らわれる。図4での縦軸の「1」はħ/2であり、図5での縦軸の「1」は(ħ/2)2であるということである。この場合、kekの解説は正しいことになるが、4月23日の追記での【2】に相当し、ケナード=ロバートソンの不等式が成立しなくなる。
また、長谷川氏の論文中の式から「スピンの標準偏差」というものを計算することができるが、どうしてそのような式になるのか?は、現時点で分からなかった。
無論、教科書レベルで各軸方向のパウリ行列の関係式からスピンに関するケナード=ロバートソンの不等式を導出する過程は比較的簡単にトレースできるのだが。。。
★各軸方向のパウリ行列の関係式とスピン
ij]=
σiσjjσi=
2iεijkσk
(εijkは、ijkが偶置換のとき1、奇置換のとき-1、添え字2つ以上が一致するとき0、ただしi,j,kはx,y,zの値を取る)
上記関係を成すパウリ行列を用いてスピン:Sは
S={Sx,Sy,Sz}
={(ħ/2)σx,(ħ/2)σy,(ħ/2)σz}
と記述される。

あと、日経サイエンスの6月号に小澤の不等式をめぐる誤差関連についての記事があるとのことで購入したのだが、長谷川氏の実験におけるスピンの標準偏差についての記述はなかった(残念。。。)
購入した図書
文献1:「理系への数学」、現代数学社、2011年12月号 --- 谷村氏による小澤の不等式に関する記述がある。

文献2:「量子力学の数学的技法」、サイエンス社、2012年4月号 --- 小澤氏の最新の記述である「量子力学の未解決問題と数学」、谷村氏の「量子古典対応」など、興味深い記事が多数あり。

文献3:「日経サイエンス」2012年6月号 --- 誤差の定義関係の記事よりも、遺伝子関連の記事が面白かった。ちなみに、誤差についての記事内容は、「誤差」って何?〜日経サイエンス2012年6月号より
http://www.nikkei-science.com/?p=23015
に解説がある。


※2012/5/7 03:30 追記
上述について、谷村先生からご指摘を受けました(深謝)
後日、修正します。
とりあえず、核となる事項のツイッターを貼り付けておきます。
下記で不等号の向きが左右ありますが、とりあえず等号成立時のみを扱えば(すなわちパウリ行列の絶対値相当=1)上述の問題はすっきりと解決すると思います。




===
以下、長谷川氏の実験に関連してσを考えていた一連の投稿

小澤の不等式が成立しえない場合。。。日経サイエンスの記事での落とし穴。。。
小澤の不等式における「誤差=0」の意味するところ。。。
小澤の不等式とスピン-その2-標準偏差:σは無限大にならずに済むのか?。。。
小澤の不等式とスピン。。。
小澤の不等式。。。長谷川氏の実験結果の意味するところ。。。
[PR]
by kisugi_jinen | 2012-04-22 06:37 | 思考。。。 | Trackback | Comments(0)
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