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封筒のパラドックス。。。2。。。
さて、前回、2種類の期待値が出てくる話をした。

一方は「残りの箱の期待値」が125万円で、「総額の期待値」が225万円 --- (a)
もう一方は「総額の期待値」が200万円で、「残りの箱の期待値」が100万円 --- (b)

残りの箱の期待値から計算し始めるとき、残りの箱を選択する確率を1/2とし、その確率のみを利用した。 --- (a')
総額の期待値を計算し始めるとき、一つ目の箱を選択する確率を1/2とし、その確率のみを利用した。 --- (b')

このパラドックスの根本はここにあると思う。

(a),(a')の場合、
なぜに、
100万円の半分の50万円が箱に入っている確率(p)と、
100万円の倍の200万円が箱に入っている確率(q)とを「同じ」と見做すのか?

すなわち、(a),(a')の場合、最初の箱を開けた時点で総額を決定するのと同じ操作を暗黙裡に加えてしまっている。言い換えると、二つの箱が用意される前に総額が決まっているのに、100万円の箱を開けたときに、p=qという条件が当たり前という誤った認識に陥りやすくなっている。

(b),(b')の場合、100万円が出た時点で、「その100万円が出る確率」=「箱を選択する確率」とし、そこからのみ総額の期待値を設定することにすれば、p=qという誤った(というより、決定不可能な)確率を使うことなく処理できる。

(b),(b')の場合、総額の期待値からpとqの値を推測するという手順に入ることになる。

。。。続きは、また今度。。。息子が起きてきたので。。。笑。。。

=== 05/11/24 08:58 追加

50万円が箱に入っている確率をp
200万円が箱に入っている確率をq
とする。
(b),(b')(a),(a')の場合、このp,qを「箱を選択する確率」と同等と扱い、それぞれ1/2と仮定してしまっていた。
では、(a),(a')(b),(b')の場合には、どうなるのだろうか?
簡単な連立一次方程式になる。
p + q = 1 --- (1)
50万 x p + 200万 x q = 100万 --- (2)
(2)は、
p + 4 x q = 2
(1)を代入して
1 - q + 4 x q = 2
3 x q = 1
q = 1/3
p = 2/3
したがって、
50万が入っている確率は、 2/3 ≒ 66.7%
200万が入っている確率は、1/3 ≒ 33.3%


ところで、(a),(a')(b),(b')の場合、ほんとうに総額の期待値が200万円になると考えていいのだろうか?

私の取った方法に基づくならば、もし、最初に200万円がでてきたら、総額の期待値は400万円になるだろうし、50万円が出てきたら、総額の期待値は100万円になるだろう。

このことについては、(b),(b')(a),(a')の手法を取った時に陥る「総額が無限」との関連と、ゼノンのパラドックス等と織り交ぜて、次回、投稿する予定である。

※08/10/29 21:20
投稿文が途中でとぎれて、再会したとき
(a),(a')と(b),(b')とが入れ替わっていたようでしたので、取消線を使って、修正しました。

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by kisugi_jinen | 2005-11-23 07:23 | つれづれ。。。 | Trackback(1) | Comments(2)
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Tracked from 来生自然の。。。 at 2006-10-14 09:10
タイトル : 封筒のパラドックス。。。3。。。
前回示した、2経路からの期待値計算ですが、「はじめに総額ありき」の経路が妥当であることは、以下の無限への発散問題を考えれば明らかでしょう。 総額を3Sとする。 Sと2Sの入った箱の片方を開けたときの金額がAとしたとき、反対側の箱の期待値は、「もう片方の箱の期待値」からの経路で直接計算をすると、 (そうして、p=q=1/2という確率を箱を選択する確率かのごとくにごまかしてしまうことで) A x 1/2 x 1/2 + A x 2 x 1/2 = 1.25 x A となり、必ず1.25倍...... more
Commented by ヵヮィィ☆ブログランキング at 2005-11-23 07:30 x
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Commented by kisugi_jinen at 2005-11-24 06:21
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<< 封筒のパラドックス。。。3。。。 封筒のパラドックス。。。 >>



「ともし火に我もむかはず燈(ともしび)もわれにむかはず己がまにまに」(光厳院) --- 厳然とした境界を越え得ぬとき、その上でなお、越えうるものがあるとすれば、それは「情」である。
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