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封筒のパラドックス。。。
mixiで見かけたパラドックスですが、結構有名なパラドックスらしく、google検索すると2chでも何度か話題になったようだし、何種類かの本にも記載されているそうだ。オリジナルが不明なので、問題文は複数サイトでの記述を参考にしてあります。

「封筒が二つあって、自分が選んだ封筒の中に入っているお金がもらえるというゲームをする。どちらか一方にはもう一方の封筒の2倍のお金が入っている。
さて、片方の封筒を選んでそれを開けると100円が入っていた。そこで、ひいた封筒をもとに戻して、もう一度封筒を引きなおしてもいいですよ、と言われたとき、もう一度封筒を引きなおすべきだろうか?」

。。。

ということで、考えてみた。。。以下、封筒を箱に変え、金額も変えてある。

ギャンブラーのボスが用意している総額を3Sとする。

片方の箱にSが入れられており、もう片方の箱に2Sが入れられている。
総額、2Sの値、およびSの値は知らされていない。

片方の箱のみ、受け取ることができるという。

ただし、片方を開けてからは、1回のみ、交換可能だという。
二つの箱のどちらかを選択する確率は暗黙の了解として1/2とする。

さて、箱の片方を選んで開けてみると100万円が入っていた。

このまま100万円を受けとるか、再チャレンジして200万円を狙うか、あるいは50万円になってしまうかというとき、どうする?


単純計算すると、「残りの箱の期待値」(1)
200x1/2 + 50x1/2 = 125万円
ということは、交換したほうが得なような気がする。。。

だが、待てよ?
本当に、そうなのだろうか?
。。。

開けた箱の100万円が
Sの場合、残りの箱には2S即ち200万円が入っていることになる。
で、総計は300万円
2Sの場合、残りの箱にはS即ち50万円が入っていることになる。
で、総計は150万円
「総計の期待値」(2)は300/2+150/2=150+75=225万円
ということで、正しいのだろうか?
現物の100万円を差っ引いて125万。。。
何が何でも、交換すべきなのか?

さて、現物の100万円だけに着目すると、これがSなのか2Sなのか不明だけれども、「総計の期待値」(3)は計算できる。
(S+2S)/2=1.5S が 100万円
すなわち
「総計の期待値」(3)は、3S=200万円
ということは、「残りの箱の期待値」(4)は100万円になってしまう。。。

あれ?

どうして(2)と(3)が異なり、(1)と(4)が異なるのだろう。。。

直感的には、最初に箱を選ぶのと、一つ開けてから交換するのと、変わらないはず。。。

ということは、(3)(4)が正しいということになるんではないだろうか?

両者の違いをまとめると、
計算手順を
(a)開けた箱の額→残りの箱の額の期待値(→総額の期待値)
(b)開けた箱の額→総額の期待値→残りの箱の額の期待値
のどちらを選択するか?
の違いである。
即ち、「総額は既に決定されている。」という前提条件を重要視するかどうか?です。

これは、「片方の2倍」でなくても「片方の10倍」でも成り立ちます。

総額を不明のまま、箱を開けないで無限交換して行く場合などを数学的に追い求める人たち(即ち、総額は無限に発散する)もいるようですけれど、直感的には(b)の手順で考えたほうが、個人的には、至極納得できるといったところです。。。
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by kisugi_jinen | 2005-11-22 07:14 | つれづれ。。。 | Trackback(2) | Comments(0)
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Tracked from 来生自然の。。。 at 2006-10-14 09:09
タイトル : 封筒のパラドックス。。。2。。。
さて、前回、2種類の期待値が出てくる話をした。 一方は「残りの箱の期待値」が125万円で、「総額の期待値」が225万円 --- (a) もう一方は「総額の期待値」が200万円で、「残りの箱の期待値」が100万円 --- (b) 残りの箱の期待値から計算し始めるとき、残りの箱を選択する確率を1/2とし、その確率のみを利用した。 --- (a') 総額の期待値を計算し始めるとき、一つ目の箱を選択する確率を1/2とし、その確率のみを利用した。 --- (b') このパラドックスの根本は...... more
Tracked from 来生自然の。。。 at 2006-10-14 09:10
タイトル : 封筒のパラドックス。。。3。。。
前回示した、2経路からの期待値計算ですが、「はじめに総額ありき」の経路が妥当であることは、以下の無限への発散問題を考えれば明らかでしょう。 総額を3Sとする。 Sと2Sの入った箱の片方を開けたときの金額がAとしたとき、反対側の箱の期待値は、「もう片方の箱の期待値」からの経路で直接計算をすると、 (そうして、p=q=1/2という確率を箱を選択する確率かのごとくにごまかしてしまうことで) A x 1/2 x 1/2 + A x 2 x 1/2 = 1.25 x A となり、必ず1.25倍...... more
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「ともし火に我もむかはず燈(ともしび)もわれにむかはず己がまにまに」(光厳院) --- 厳然とした境界を越え得ぬとき、その上でなお、越えうるものがあるとすれば、それは「情」である。
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