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平成教育委員会-たけしも間違えたお年玉の袋の交換問題-
平成教育委員会の1月3日放送分で、特別授業の「3つのお年玉袋」
http://wwwz.fujitv.co.jp/heisei/04.html
の、「問2」(赤字はホームページに記載の文章部分)
1.3つのお年玉袋一つだけにお年玉が入っている
たとえば、A・B・Cの三つの袋の一つにお年玉が入っている。
2.子供が一つだけを選んだ時
たとえば、Aの袋を子供が選んだ。
3.残った二つの袋のうち、親から入っていない袋を教えられた(すなわち、残った二つの袋のうち、空っぽの袋を確認し、空っぽの袋がどちらかを教えた)
たとえば、残ったB・Cの袋の中身を確認し、入っていない方がCだったとして、「Cが空」だと教えた。
4.親からここで、選んだものを変えても良いと言われました。
たとえば、Aを選んだが、Bと交換すべきかどうか?(Cは空だと教えられた)
5.どうするのが、当たる確率が高いでしょうか?
5-1.どっちも同じ
5-2.交換しない方がいい
5-3.交換した方がいい






※考え方に、二つの場合があり、条件設定次第でどちらかが正解になります。番組中のたけしの行動と設問のみからは、「交換してもしなくてもどっちも同じ」が正解になります。しかしながら、番組ホームページの質問と解説からは「交換した方がいい」になります。

=== 残った二つの袋を、親が中身を確認して、「空」の方を指摘した場合 ===
※番組中で、たけしは、残った二つの袋の内、片方のみを見て「空だった」という条件設定のように行動していました。この場合には「5-1:どっちでも同じ」になります。(後述)

番組での回答
5-3.交換した方がいい

※3で、選ばなかった両方の袋の中身を確認して、空の方を指摘しているということが前提条件になります。この条件下でのみ、番組での解説および番組ホームページでの解説が有効になります。

-----
ABC
×× → 残った二つ:×× → 空を除いた後:×
×○× → 残った二つ:○× → 空を除いた後:○
××○ → 残った二つ:×○ → 空を除いた後:○
-----
すなわち、交換しなければ、お年玉が入っている確率は1/3ですが、交換すれば2/3になるわけです。もし、子供が最初に選んだ袋が空だったなら、交換すれば、「必ず入っている」ことになります。

=== 残った二つの袋の内、片方のみ無作為に選び、中の状態を教えたとき ===
※残った二つの袋の内、親が片方のみを見て「空だった」といった場合には「5-1:どっちでも同じ」になります。

もし、残った二つの袋の片方のみを確認して「入っていた」場合にも「こっちの袋は空だよ」と言った場合には、5-1(どっちでも同じ)になります。 --- (1)

また、残った二つの袋の片方のみを確認して「入っていた」場合に「残念でした」と言い、「入っていなかった」場合に「空だった」と言った場合にも、5-1(どっちでも同じ)になります。(多くの視聴者および回答者はこちらの場合を想定していたものと思われます) --- (2)

※疑問に思っているブログの一部
http://rachmaninoffcool.cocolog-nifty.com/rach/2010/01/post-73c2.html
http://blogs.yahoo.co.jp/betti_lucky930/11146533.html


さらに、残った二つの袋の片方のみを無作為に選んで回収し、残った袋との交換問題の場合にも5-1(どっちでも同じ)になります。 --- (1)と同等。

(1)の場合の解説
子供がAを選び、親がBCを回収し、Cの袋のみを確認する場合を想定する。(組み合わせなので、ABCに役割を割り当て、中身が1/3の確率で異なる場合を考えればいい)
-----
ABC
×× → 残った二つ:×× → Cを除いた後:×
×○× → 残った二つ:○× → Cを除いた後:○
××○ → 残った二つ:×○ → Cを除いた後:×
-----
すなわち、Aの袋にお年玉が入っている確率は1/3であり、Bの袋にお年玉が入っている確率も1/3になるため、「5-1:どっちも同じ」になる。

2010/01/05 22:31に(2)の場合の解説を追加しました。(場合分けの詳細を記述するのを忘れていました)
(2)の場合の解説
子供がAを選び、親がBCを回収し、Cの袋のみを確認する場合を想定する。(組み合わせなので、ABCに役割を割り当て、中身が1/3の確率で異なる場合を考えればいい)
Cの中身が「空だった」か「入っていた」かを伝えるので、場合分けする。
(2)-1:Cが空の場合
-----
ABC
×× → 残った二つ:×× → Cを除いた後:×
×○× → 残った二つ:○× → Cを除いた後:○
-----
交換しなければ1/2で、交換しても1/2の確率、したがって、「5-1:どっちも同じ」になる。

(2)-2:Cに入っていた場合
-----
ABC
××○ → 残った二つ:×○ → Cを除いた後:×
-----
残された袋には、どちも「空」なので、「5-1:どっちも同じ」になる。

この問題は、モンティ・ホール問題として有名だが、wikipediaの説明でも中途半端なので要注意!!
http://ja.wikipedia.org/wiki/モンティ・ホール問題

参照:
封筒のパラドックス。。。
封筒のパラドックス。。。2。。。
2010/01/07 05:30 参照先を追加しています
封筒のパラドックス。。。3。。。
封筒のパラドックス。。。4。。。解説偏。。。

封筒のパラドックス。。。5。。。シミュレーション編。。。
封筒のパラドックス。。。参照編。。。
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by kisugi_jinen | 2010-01-05 05:12 | つれづれ。。。 | Comments(1)
Commented at 2010-01-09 08:39
ブログの持ち主だけに見える非公開コメントです。
<< EclipseのC++とope... 仕分けという知的切断 --- ... >>



「ともし火に我もむかはず燈(ともしび)もわれにむかはず己がまにまに」(光厳院) --- 厳然とした境界を越え得ぬとき、その上でなお、越えうるものがあるとすれば、それは「情」である。
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